Calcolo Esempi

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $1 + a e^{- k t}$ .

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune di $1 + a e^{- k t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica $\frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (a e^{- k t})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

$a$ e $\frac{1}{2}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} e^{- k t}$

Passaggio 2.2.1.3.2

$\frac{a}{2}$ e $e^{- k t}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a e^{- k t}}{2}$

Passaggio 2.2.1.4

Riordina $\frac{1}{2}$ e $\frac{a e^{- k t}}{2}$ .

$1 = \frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $t$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2 - 1}{2}$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$a e^{- k t} = 1$

Passaggio 3.4

Dividi per $a$ ciascun termine in $a e^{- k t} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi per $a$ ciascun termine in $a e^{- k t} = 1$ .

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Dividi $e^{- k t}$ per $1$ .

$e^{- k t} = \frac{1}{a}$

Passaggio 3.5

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- k t}) = \ln (\frac{1}{a})$

Passaggio 3.6

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Espandi $\ln (e^{- k t})$ spostando $- k t$ fuori dal logaritmo.

$- k t \ln (e) = \ln (\frac{1}{a})$

Passaggio 3.6.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- k t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{a})$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$

Passaggio 3.7

Dividi per $- k$ ciascun termine in $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Dividi per $- k$ ciascun termine in $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ .

$\frac{- k t}{- k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Passaggio 3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Passaggio 3.7.2.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{a})}{k}$