Calcolo Esempi

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$

Passaggio 1

Semplifica $20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Eleva $4096$ alla potenza di $2$ .

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $4096$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $4096$ da $20480$ .

$5 L = 4096 (5) \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $4096$ da $16777216$ .

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune.

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Passaggio 1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$5 L = 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096}$

$5 L = \frac{5 L^{4}}{4096}$

Passaggio 2

Sottrai $\frac{5 L^{4}}{4096}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 L - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $5 L$ da $5 L - \frac{5 L^{4}}{4096}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $5 L$ da $5 L$ .

$5 L (1) - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $5 L$ da $- \frac{5 L^{4}}{4096}$ .

$5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $5 L$ da $5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096})$ .

$5 L (1 - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$5 L (1^{3} - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{L^{3}}{4096}$ come ${(\frac{L}{16})}^{3}$ .

$5 L (1^{3} - {(\frac{L}{16})}^{3}) = 0$

Passaggio 3.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = \frac{L}{16}$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1^{2} + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $\frac{L}{16}$ per $1$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{L}{16}$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{16^{2}})) = 0$

Passaggio 3.5.1.4

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256})) = 0$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$L = 0$

$1 - \frac{L}{16} = 0$

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Passaggio 5

Imposta $L$ uguale a $0$ .

$L = 0$

Passaggio 6

Imposta $1 - \frac{L}{16}$ uguale a $0$ e risolvi per $L$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $1 - \frac{L}{16}$ uguale a $0$ .

$1 - \frac{L}{16} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $1 - \frac{L}{16} = 0$ per $L$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{L}{16} = - 1$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 16$ .

$- 16 (- \frac{L}{16}) = - 16 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Semplifica $- 16 (- \frac{L}{16})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{L}{16}$ nel numeratore.

$- 16 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.3.1.1.1.2

Scomponi $16$ da $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$16 \cdot - 1 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - L = - 16 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 L = - 16 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.3.1.1.2.2

Moltiplica $L$ per $1$ .

$L = - 16 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$L = 16$

Passaggio 7

Imposta $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ uguale a $0$ e risolvi per $L$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ uguale a $0$ .

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$ per $L$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica per il minimo comune denominatore $256$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$256 \cdot 1 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Passaggio 7.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.1

Moltiplica $256$ per $1$ .

$256 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Passaggio 7.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.2.1

Scomponi $16$ da $256$ .

$256 + 16 (16) (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Passaggio 7.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$256 + 16 \cdot (16 (\frac{L}{16})) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Passaggio 7.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Passaggio 7.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $256$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Passaggio 7.2.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$256 + 16 L + L^{2} = 0$

Passaggio 7.2.1.3

Sposta $256$ .

$16 L + L^{2} + 256 = 0$

Passaggio 7.2.1.4

Riordina $16 L$ e $L^{2}$ .

$L^{2} + 16 L + 256 = 0$

Passaggio 7.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 16$ e $c = 256$ nella formula quadratica e risolvi per $L$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.3

Sottrai $1024$ da $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.4

Riscrivi $- 768$ come $- 1 (768)$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (768)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.7

Riscrivi $768$ come $16^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1.7.1

Scomponi $256$ da $768$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.7.2

Riscrivi $256$ come $16^{2}$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.1.9

Sposta $16$ alla sinistra di $i$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.2.4.3

Semplifica $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$L = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$L = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$ vera.

$L = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$