Calcolo Esempi

$\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{8} (z - 6) + \log_{8} (z + 15) = 2$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((z - 6) (z + 15)) = 2$

Passaggio 3

Espandi $(z - 6) (z + 15)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{8} (z (z + 15) - 6 (z + 15)) = 2$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 (z + 15)) = 2$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $z$ per $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Passaggio 4.1.2

Sposta $15$ alla sinistra di $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 \cdot z - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 6$ per $15$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 z - 6 z - 90) = 2$

Passaggio 4.2

Sottrai $6 z$ da $15 z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$

Passaggio 5

Riscrivi $\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$8^{2} = z^{2} + 9 z - 90$

Passaggio 6

Risolvi per $z$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$ .

$z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$

Passaggio 6.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$z^{2} + 9 z - 90 = 64$

Passaggio 6.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z^{2} + 9 z - 90 - 64 = 0$

Passaggio 6.3.2

Sottrai $64$ da $- 90$ .

$z^{2} + 9 z - 154 = 0$

Passaggio 6.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 9$ e $c = - 154$ nella formula quadratica e risolvi per $z$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 154)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6

Semplifica.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.6.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 154$ .

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Passaggio 6.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 154$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 616}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.3

Somma $81$ e $616$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2}$

Passaggio 6.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{697}}{2}$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$ vera.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Forma decimale:

$z = 8.70037878 \dots$