Calcolo Esempi

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) \cos (2 x) = 0$

Passaggio 1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.1.5.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Passaggio 2.1.1.5.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.1.1.5.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Passaggio 2.1.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Passaggio 2.1.1.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Passaggio 2.1.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.1.2.1

Sottrai $2 \sin (x) \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$0 + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Somma $0$ e $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Imposta $\sin^{3} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Imposta $\sin^{3} (x)$ uguale a $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Passaggio 3.2.2

Risolvi $\sin^{3} (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.2.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 3.2.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.2.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 3.2.2.6

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.2.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.3

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.3.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.3.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.3.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$