Calcolo Esempi

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (2 x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

Passaggio 2.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $4$ per $16$ .

$\ln (64 x^{3}) = 0$

Passaggio 3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

Passaggio 4

Riscrivi $\ln (64 x^{3}) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 64 x^{3}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $64 x^{3} = e^{0}$ .

$64 x^{3} = e^{0}$

Passaggio 5.2

Sottrai $e^{0}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

Passaggio 5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$64 x^{3} - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $64 x^{3}$ come ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 5.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 4 x$ e $b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.4.4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.4.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.4.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Passaggio 5.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Passaggio 5.6

Imposta $4 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.6.1

Imposta $4 x - 1$ uguale a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi $4 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 1$

Passaggio 5.6.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.7

Imposta $16 x^{2} + 4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Imposta $16 x^{2} + 4 x + 1$ uguale a $0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Passaggio 5.7.2

Risolvi $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 16$ , $b = 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Passaggio 5.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 5.7.2.3.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 5.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 5.7.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 5.7.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 5.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$