Calcolo Esempi

$\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 2) (2 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6) = 2 \ln (x)$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $4 x$ da $- 3 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = 2 \ln (x)$

Passaggio 2

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = \ln (x^{2})$

Passaggio 3

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $x^{2} - 7 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 6, - 1$

Passaggio 4.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 6) (x - 1) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 4.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 4.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 6, 1$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$ vera.

$x = 6$