Calcolo Esempi

$\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{\frac{1}{x}}) = 2$

Passaggio 1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (x \cdot x) = 2$

Passaggio 1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (x^{2}) = 2$

Passaggio 2

Scrivi in forma esponenziale.

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Passaggio 2.1

Per le equazioni logaritmiche, $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ tale che $x > 0$ , $b > 0$ e $b \neq 1$ . In questo caso, $b = e$ , $x = x^{2}$ e $y = 2$ .

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 2$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori di $b$ , $x$ e $y$ nell'equazione $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x^{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} = e^{2}$ .

$x^{2} = e^{2}$

Passaggio 3.2

Poiché gli esponenti sono uguali, le basi degli esponenti su entrambi i lati dell'equazione devono essere uguali.

$| x | = | e |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | e |$

Passaggio 3.3.2

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$x = \pm e$

Passaggio 3.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.3.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = e$

Passaggio 3.3.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - e$

Passaggio 3.3.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = e, - e$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$ vera.

$x = e$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = e$

Forma decimale:

$x = 2.71828182 \dots$