Calcolo Esempi

$\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = \ln (4 x - 6)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x - 1$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $x - 1$ ciascun termine in $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ per $x - 1$ .

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$x = 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x = 4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 (x - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x - 6 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3.1.5

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x + 6$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $6 x$ da $- 4 x$ .

$x = 4 x^{2} - 10 x + 6$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$4 x^{2} - 10 x + 6 = x$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 10 x + 6 - x = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $x$ da $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Passaggio 3.3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi $- 11$ come $- 3$ più $- 8$ .

$4 x^{2} + (- 3 - 8) x + 6 = 0$

Passaggio 3.3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 8 x + 6 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x^{2} - 3 x) - 8 x + 6 = 0$

Passaggio 3.3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (4 x - 3) - 2 (4 x - 3) = 0$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x - 2) = 0$

Passaggio 3.3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.3.5

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 3.3.5.2

Risolvi $4 x - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 3$

Passaggio 3.3.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.3.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.3.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x - 3) (x - 2) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{4}, 2$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$ vera.

$x = 2$