Calcolo Esempi

$\ln (x) = \frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x) = \frac{1}{3} \ln (16) + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Passaggio 1.1.2

$\frac{1}{3}$ e $\ln (16)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica $\frac{1}{3} (2 \ln (2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2}{3} \ln (2)$

Passaggio 1.1.3.2

$\frac{2}{3}$ e $\ln (2)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$

Passaggio 2

Moltiplica per $3$ ciascun termine in $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ per $3$ .

$\ln (x) \cdot 3 = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (x)$ .

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \ln (x) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $3 \ln (x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica $\ln (16) + 2 \ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Semplifica $2 \ln (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (2^{2})$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (4)$

Passaggio 4.1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16 \cdot 4)$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $16$ per $4$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (64)$

Passaggio 5

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{3} = 64$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 64 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Passaggio 6.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

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Passaggio 6.2.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6.5

Imposta $x^{2} + 4 x + 16$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.5.1

Imposta $x^{2} + 4 x + 16$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 16$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 6.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.5.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 6.5.2.3.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 6.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vera.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$