Calcolo Esempi

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1)$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica $- 2 \ln (2 x - 1)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - \ln ({(2 x - 1)}^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$

Passaggio 5

Semplifica $e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 1 {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ${(2 x - 1)}^{2}$ per $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = {(2 x - 1)}^{2}$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi ${(2 x - 1)}^{2}$ come $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = (2 x - 1) (2 x - 1)$

Passaggio 5.2

Espandi $(2 x - 1) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Sottrai $4 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} = - 4 x + 1$

Passaggio 6.2

Somma $4 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} + 4 x = 1$

Passaggio 6.3

Sottrai $4 x^{2}$ da $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 15 + 4 x = 1$

Passaggio 6.4

Somma $2 x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 6 x - 15 = 1$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 6 x = 1 + 15$

Passaggio 7.2

Somma $1$ e $15$ .

$x^{2} + 6 x = 16$

Passaggio 8

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

Passaggio 9

Scomponi $x^{2} + 6 x - 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 16$ e la cui somma è $6$ .

$- 2, 8$

Passaggio 9.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 2) (x + 8) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 12

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 8) = 0$ vera.

$x = 2, - 8$

Passaggio 14

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$ vera.

$x = 2$