Calcolo Esempi

$\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4}) - \ln (x) = \ln (3)$

Passaggio 1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 3}{x - 4}}{x}) = \ln (3)$

Passaggio 1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{1}{x}) = \ln (3)$

Passaggio 1.4

Moltiplica $\frac{x - 3}{x - 4}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x}) = \ln (3)$

Passaggio 1.5

Riordina i fattori in $\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x (x - 4)}) = \ln (3)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x (x - 4), 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x (x - 4)$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $x (x - 4)$ ciascun termine in $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ per $x (x - 4)$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Passaggio 3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x - 3 = 3 (x (x - 4))$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x - 3 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 4)$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} + x \cdot - 4)$

Passaggio 3.2.3.2.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} - 4 \cdot x)$

Passaggio 3.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x - 3 = 3 x^{2} + 3 (- 4 x)$

Passaggio 3.2.3.4

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x - 3 = 3 x^{2} - 12 x$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$3 x^{2} - 12 x = x - 3$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 12 x - x = - 3$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $x$ da $- 12 x$ .

$3 x^{2} - 13 x = - 3$

Passaggio 3.3.3

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 13 x + 3 = 0$

Passaggio 3.3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3.5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 13$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.6.1.1

Eleva $- 13$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 36}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.6.1.3

Sottrai $36$ da $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{6}$

Passaggio 3.3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}, \frac{13 - \sqrt{133}}{6}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$ vera.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Forma decimale:

$x = 4.08876043 \dots$