Calcolo Esempi

$6 x e^{x y} = 5$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (6 x e^{x y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x e^{x y}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x y}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$6 (x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$6 (x (e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Moltiplica $y$ per $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \cdot 1)$

Passaggio 2.9

Moltiplica $e^{x y}$ per $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y})$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x (e^{x y} (x y') + e^{x y} y) + e^{x y})$

Passaggio 2.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x (e^{x y} (x y')) + x (e^{x y} y) + e^{x y})$

Passaggio 2.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x (e^{x y} (x y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Passaggio 2.10.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 (x^{1} x (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Passaggio 2.10.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Passaggio 2.10.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 (x^{1 + 1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Passaggio 2.10.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$6 x^{2} (e^{x y} (y')) + 6 x (e^{x y} y) + 6 e^{x y}$

Passaggio 2.10.5

Riordina i termini.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$ .

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 x y e^{x y} + 6 e^{x y} = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $6 x y e^{x y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 e^{x y} = - 6 x y e^{x y}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $6 e^{x y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$

Passaggio 5.3

Dividi per $6 x^{2} e^{x y}$ ciascun termine in $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $6 x^{2} e^{x y}$ ciascun termine in $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ .

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $e^{x y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $6$ da $- 6 x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} e^{x y}$ .

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x y e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $- x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} e^{x y}$ .

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{x y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1

Scomponi $6$ da $- 6 e^{x y}$ .

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} e^{x y}$ .

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.6

Elimina il fattore comune di $e^{x y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Passaggio 5.3.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$