Calcolo Esempi

$\frac{1}{{(2 i)}^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$\frac{1}{2^{3} i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8 i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 1.3

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$\frac{1}{8 (i^{2} \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 1.4

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{1}{8 (- 1 \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 1.5

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$\frac{1}{8 \cdot - 1 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 1.6

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{1}{- (8 i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{1}{- 8 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{1}{- 8 i}$ per il coniugato di $- 8 i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{1}{- 8 i} \cdot \frac{i}{i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina.

$\frac{1 i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $i$ per $1$ .

$\frac{i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Aggiungi le parentesi.

$\frac{i}{- 8 (i i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 3.3.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i^{1})} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{i}{- 8 i^{1 + 1}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{i}{- 8 i^{2}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{i}{- 8 \cdot - 1} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 4

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Passaggio 5

Usa il teorema binomiale.

$\frac{i}{8} \cdot ({(e^{i x})}^{3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{i x})}^{3}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{i x \cdot 3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 \cdot - 1 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{i x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x \cdot 2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{2 i x} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica $e^{2 i x}$ per $e^{- i x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1.5.1

Sposta $e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 (e^{- i x} e^{2 i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{- i x + 2 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.5.3

Somma $- i x$ e $2 i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{1 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.5.4

Moltiplica $i$ per $1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.6

Applica la regola del prodotto a $- e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} ({(- 1)}^{2} {(e^{- i x})}^{2}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot 1 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.10

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- i x})}^{2}$ .

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Passaggio 6.1.10.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- i x \cdot 2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- 2 i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.11

Moltiplica $e^{i x}$ per $e^{- 2 i x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1.11.1

Sposta $e^{- 2 i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 (e^{- 2 i x} e^{i x}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.11.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- 2 i x + i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.11.3

Somma $- 2 i x$ e $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.12

Applica la regola del prodotto a $- e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- 1)}^{3} {(e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - {(e^{- i x})}^{3})$

Passaggio 6.1.14

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- i x})}^{3}$ .

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Passaggio 6.1.14.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- i x \cdot 3})$

Passaggio 6.1.14.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- 3 i x})$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{i}{8} e^{3 i x} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{i}{8}$ e $e^{3 i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{i}{8} (- 3 e^{i x})$ .

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Passaggio 7.2.1

$- 3$ e $\frac{i}{8}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i}{8} e^{i x} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Passaggio 7.2.2

$\frac{- 3 i}{8}$ e $e^{i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{i}{8} (3 e^{- i x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$3$ e $\frac{i}{8}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i}{8} e^{- i x} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Passaggio 7.3.2

$\frac{3 i}{8}$ e $e^{- i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Passaggio 7.4

$\frac{i}{8}$ e $e^{- 3 i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{i e^{3 i x}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Passaggio 9

Sposta $i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Passaggio 10

Riordina $i$ e $e^{3 x i}$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Passaggio 11

Riordina $i$ e $x$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Passaggio 12

Sposta $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Passaggio 13

Sposta $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- 1 x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Passaggio 14

Sposta $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Passaggio 15

Sposta $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$

Passaggio 16

Riordina $i$ e $e^{- 3 x i}$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Passaggio 17

Riordina i fattori in $e^{3 x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Passaggio 18

Riordina i fattori in $3 e^{x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Passaggio 19

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Passaggio 20

Riordina i fattori in $3 e^{- x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Passaggio 21

Riordina i fattori in $e^{- 3 x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$