Calcolo Esempi

$x = (1 + t) \sqrt{t}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$x = (1 + t) t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ((1 + t) t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $x$ rispetto a $t$ è $x'$ .

$x'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = 1 + t$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(1 + t) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.7.3

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.12

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13.2.2

$t$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13.2.3

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13.2.4

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.2.4.1

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.2.4.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13.2.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13.2.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13.2.4.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.13.2.5

Per scrivere $t^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.13.2.6

$t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.13.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.13.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.13.2.9

Somma $t^{\frac{1}{2}}$ e $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$