Calcolo Esempi

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{3}{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.1.1

Riscrivi $8 x^{3}$ come ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 2 x$ e $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.1.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.1.4.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.1.4.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 2.1.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come $2$ più $- 3$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 1$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.3

Elimina il fattore comune di $2 x - 3$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- \frac{3}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 1) \cdot 2$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(x + 1) \cdot 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.6.2.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.6.2.3

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.6.5

Sottrai $3 x$ da $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 2.6.6

Sottrai $3$ da $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $a = 8$ , $b = 9$ e $c = 15$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 32$ per $15$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $480$ da $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi $- 399$ come $- 1 (399)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (399)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

Passaggio 7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

Passaggio 8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 9

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ .

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Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 (x + 1) = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + 1) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + 1) = 0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 10.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 10.2.1.2.1.2

Dividi $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 10.2.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 1$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 1$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1)$

Passaggio 13