Calcolo Esempi

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $u^{2} - 3 u + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.3.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 3.4

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 2) (u - 1) = 0$ vera.

$u = 2, 1$

Passaggio 4

Sostituisci $2$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Passaggio 5

Risolvi $2 = e^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Passaggio 5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Passaggio 5.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Passaggio 5.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (2)$

Passaggio 6

Sostituisci $1$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $1 = e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 7.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 7.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Passaggio 7.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (1)$

Passaggio 7.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (2), 0$

Passaggio 9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $1.61230978$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \ln (2)$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \ln (2)$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.35$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $0.35$ nella diseguaglianza originale.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 0.24344993$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \ln (2)$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \ln (2)$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $345.17218272$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \ln (2)$ Vero

$x > \ln (2)$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \ln (2)$ Vero

$x > \ln (2)$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < \ln (2)$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$0 < x < \ln (2)$

Notazione degli intervalli:

$(0, \ln (2))$

Passaggio 13