Calcolo Esempi

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Passaggio 1

Sottrai $6 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x = y + 1$

Passaggio 2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y = 1$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y - 1 = 0$

Passaggio 3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori $a = y^{3}$ , $b = - 2 y - 6$ e $c = - y - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 6) \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{- (- 2 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.4

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5

Sia $u = y^{3} \cdot (- y - 1)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y^{3} \cdot (- y - 1)$ con $u$ .

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi ${(- 2 y - 6)}^{2}$ come $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{(- 2 y - 6) (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.2

Espandi $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 6) - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.5.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.3.1.4

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.3.1.6

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.5.3.2

Somma $12 y$ e $12 y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.6

Scomponi $4$ da $4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u$ .

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $4$ da $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $4$ da $24 y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.6.3

Scomponi $4$ da $36$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) - 4 u}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.6.4

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.6.5

Scomponi $4$ da $4 (y^{2}) + 4 (6 y)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.6.6

Scomponi $4$ da $4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.6.7

Scomponi $4$ da $4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - u)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{3} \cdot (- y - 1)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} \cdot (- y - 1)))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} (- y) + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.8.4.1

Moltiplica $y^{3}$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.8.4.1.1

Sposta $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.4.1.2

Moltiplica $y$ per $y^{3}$ .

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Passaggio 5.8.4.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{1 + 3} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.4.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.4.2

Riscrivi $- 1 y^{3}$ come $- y^{3}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.5

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.6

Moltiplica $- - y^{4}$ .

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Passaggio 5.8.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + 1 y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.6.2

Moltiplica $y^{4}$ per $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.7

Moltiplica $- - y^{3}$ .

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Passaggio 5.8.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + 1 y^{3})}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.8.7.2

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.9

Riordina i termini.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.10

Riscrivi $4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ come $2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ .

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Passaggio 5.10.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.10.2

Riscrivi $y^{4}$ come ${(y^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.11

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{{(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.12

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 5.12.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{2 \cdot 2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Passaggio 5.12.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Passaggio 6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{y + 3 + \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

$x = \frac{y + 3 - \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$