Calcolo Esempi

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 > 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18 = 0$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi.

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Passaggio 2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x + 2) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - 2, - 3, 3$

Passaggio 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

${(- 6)}^{3} + 2 {(- 6)}^{2} - 9 \cdot - 6 - 18 > 0$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $- 108$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2.5$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2.5$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2.5)}^{3} + 2 {(- 2.5)}^{2} - 9 \cdot - 2.5 - 18 > 0$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $1.375$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 18 > 0$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $- 18$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 9.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{3} + 2 {(6)}^{2} - 9 \cdot 6 - 18 > 0$

Passaggio 9.4.3

Il lato sinistro di $216$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 < x < - 2$ o $x > 3$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 3 < x < - 2 or x > 3$

Notazione degli intervalli:

$(- 3, - 2) \cup (3, \infty)$

Passaggio 12