Calcolo Esempi

$\frac{x + 1}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} = - 1$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 x - 1, 3 x - 2, 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $3 x - 1$ è $3 x - 1$ stesso.

$(3 x - 1) = 3 x - 1$

$(3 x - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $3 x - 2$ è $3 x - 2$ stesso.

$(3 x - 2) = 3 x - 2$

$(3 x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $3 x - 1, 3 x - 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(3 x - 1) (3 x - 2)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(3 x - 1) (3 x - 2)$ ciascun termine in $\frac{x + 1}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x + 1}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} = - 1$ per $(3 x - 1) (3 x - 2)$ .

$\frac{x + 1}{3 x - 1} ((3 x - 1) (3 x - 2)) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x + 1}{3 x - 1} ((3 x - 1) (3 x - 2)) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(x + 1) (3 x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.2

Espandi $(x + 1) (3 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x - 2) + 1 (3 x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (3 x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$3 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.3.1.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$3 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.3.1.4

Moltiplica $3 x$ per $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 3 x + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Somma $- 2 x$ e $3 x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.1

Scomponi $3 x - 2$ da $(3 x - 1) (3 x - 2)$ .

$3 x^{2} + x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 2) (3 x - 1)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} + x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 2) (3 x - 1)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} + x - 2 + (2 x + 1) (3 x - 1) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.5

Espandi $(2 x + 1) (3 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 x (3 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x - 1) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 x (3 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1.2.1

Sposta $x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.6.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.6.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 2 x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.6.1.5

Moltiplica $3 x$ per $1$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 2 x + 3 x + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 2 x + 3 x - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.1.6.2

Somma $- 2 x$ e $3 x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} + x - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$9 x^{2} + x - 2 + x - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $x$ e $x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 2 - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.2.2.3

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $(3 x - 1) (3 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 x (3 x - 2) - 1 (3 x - 2))$

Passaggio 2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x - 2))$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 2.3.2.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 6 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 2.3.2.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 6 x - 3 x - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 2.3.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 6 x - 3 x + 2)$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $3 x$ da $- 6 x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 9 x + 2)$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - 9 x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - 9 x^{2} + 9 x - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - 9 x^{2} + 9 x - 2$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Somma $9 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} + 2 x - 3 + 9 x^{2} = 9 x - 2$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $9 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} + 2 x - 3 + 9 x^{2} - 9 x = - 2$

Passaggio 3.1.3

Somma $9 x^{2}$ e $9 x^{2}$ .

$18 x^{2} + 2 x - 3 - 9 x = - 2$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $9 x$ da $2 x$ .

$18 x^{2} - 7 x - 3 = - 2$

Passaggio 3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$18 x^{2} - 7 x - 3 + 2 = 0$

Passaggio 3.3

Somma $- 3$ e $2$ .

$18 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 18 \cdot - 1 = - 18$ e la cui somma è $b = - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $- 7$ da $- 7 x$ .

$18 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi $- 7$ come $2$ più $- 9$ .

$18 x^{2} + (2 - 9) x - 1 = 0$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$18 x^{2} + 2 x - 9 x - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(18 x^{2} + 2 x) - 9 x - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 x (9 x + 1) - (9 x + 1) = 0$

Passaggio 3.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 x + 1$ .

$(9 x + 1) (2 x - 1) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $9 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $9 x + 1$ uguale a $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $9 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x = - 1$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = - 1$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Passaggio 3.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{9}$

Passaggio 3.7

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 3.7.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 3.7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.7.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 x + 1) (2 x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{9}, \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{1}{9}, \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$x = - 0.\overline{1}, 0.5$