Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$

Passaggio 2

Esegui una moltiplicazione incrociata.

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Passaggio 2.1

Esegui una moltiplicazione incrociata impostando il prodotto del numeratore del lato destro e il denominatore del lato sinistro in modo che siano uguali al prodotto del numeratore del lato sinistro e del denominatore del lato destro.

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}}) = 1$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica $y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y \sqrt{2 x - x^{2}} = 1$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $x$ da $2 x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}} = 1$

Passaggio 2.2.1.2.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)} = 1$

Passaggio 2.2.1.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$2 y \sqrt{x (2 - x)} = 1$

Passaggio 3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 y \sqrt{x (2 - x)})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x (2 - x)}$ come ${(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

${(2 y {(x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riordina.

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Passaggio 4.2.1.1.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

${(2 y {(2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${(2 y {(2 \cdot x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Sposta $x$ .

${(2 y {(2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

${(2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y)}^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$2^{2} y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.6

Semplifica.

$4 y^{2} (2 x - x^{2}) = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.7

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y^{2} (2 x) + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.7.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.7.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.7.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.8.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.2.1.8.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.3

Sostituisci i valori $a = - 4 y^{2}$ , $b = 8 y^{2}$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 4 y^{2} \cdot - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.1.1

Riscrivi $- 4 \cdot - 4 y^{2}$ come ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - {(4 y)}^{2}}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 8 y^{2}$ e $b = 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(8 y^{2} + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.3

Semplifica.

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Passaggio 5.4.1.3.1

Scomponi $4 y$ da $8 y^{2} + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1.1

Scomponi $4 y$ da $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.3.1.2

Scomponi $4 y$ da $4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y (1)) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.3.1.3

Scomponi $4 y$ da $4 y (2 y) + 4 y (1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.4

Scomponi $4 y$ da $8 y^{2} - 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1

Scomponi $4 y$ da $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.4.2

Scomponi $4 y$ da $- 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) + 4 y (- 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.4.3

Scomponi $4 y$ da $4 y (2 y) + 4 y (- 1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) \cdot (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.5

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 5.4.1.5.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y (2 y + 1) y (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.5.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.5.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{1 + 1} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.6

Riscrivi $16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)$ come ${(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))$ .

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Passaggio 5.4.1.6.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4^{2} y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.6.2

Riscrivi $4^{2} y^{2}$ come ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.6.3

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica $\frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

Passaggio 5.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$