Calcolo Esempi

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

Passaggio 1

Sottrai $4 k$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $k$ da $6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $k$ da $6 k^{3}$ .

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $k$ da $- 5 k^{2}$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $k$ da $- 4 k$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $k$ da $k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ .

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Passaggio 3.1.5

Scomponi $k$ da $k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e la cui somma è $b = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 k$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi $- 5$ come $3$ più $- 8$ .

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

Passaggio 3.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 k + 1$ .

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

Passaggio 5

Imposta $k$ uguale a $0$ .

$k = 0$

Passaggio 6

Imposta $2 k + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $k$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $2 k + 1$ uguale a $0$ .

$2 k + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 k + 1 = 0$ per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 k = - 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 k = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 k = - 1$ .

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $k$ per $1$ .

$k = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$k = - \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Imposta $3 k - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $3 k - 4$ uguale a $0$ .

$3 k - 4 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $3 k - 4 = 0$ per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 k = 4$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 k = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 k = 4$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $k$ per $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ vera.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Passaggio 9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $k < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $k < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$k = - 3$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $k$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 207$ è minore del lato destro di $- 12$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < k < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < k < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$k = - 0.25$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $k$ con $- 0.25$ nella diseguaglianza originale.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 0.40625$ non è minore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < k < \frac{4}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < k < \frac{4}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$k = 1$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $k$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $1$ è minore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $k > \frac{4}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $k > \frac{4}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$k = 4$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $k$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $304$ non è minore del lato destro di $16$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$k < - \frac{1}{2}$ Vero

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Falso

$0 < k < \frac{4}{3}$ Vero

$k > \frac{4}{3}$ Falso

$k < - \frac{1}{2}$ Vero

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Falso

$0 < k < \frac{4}{3}$ Vero

$k > \frac{4}{3}$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$k < - \frac{1}{2}$ o $0 < k < \frac{4}{3}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

Passaggio 13