Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - y^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}] - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - 2 (x^{2} - y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x - 2 (x^{2} - y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 y^{2} x - 2 (x^{2} - y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 y^{2} x + (- 2 x^{2} - 2 (- y^{2})) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 y^{2} x - 2 x^{2} x - 2 (- y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Combina i termini opposti in $2 x^{2} x + 2 y^{2} x - 2 x^{2} x - 2 (- y^{2}) x$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $2 x^{2} x$ da $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 y^{2} x + 0 - 2 (- y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Somma $2 y^{2} x$ e $0$ .

$\frac{2 y^{2} x - 2 (- y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 y^{2} x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Somma $2 y^{2} x$ e $2 y^{2} x$ .

$\frac{4 y^{2} x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$