Calcolo Esempi

$\frac{x^{17} - 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{17} - 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{17} - 1] - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{17} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{17}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{17}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 17$ .

$\frac{(x - 1) (17 x^{16} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 1) (17 x^{16} + 0) - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $17 x^{16}$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) (17 x^{16}) - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $17$ alla sinistra di $x - 1$ .

$\frac{17 \cdot (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(17 x + 17 \cdot - 1) x^{16} - (x^{17} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{17 x \cdot x^{16} + 17 \cdot - 1 x^{16} - (x^{17} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{17 x \cdot x^{16} + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{16}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.1.1

Sposta $x^{16}$ .

$\frac{17 (x^{16} x) + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Moltiplica $x^{16}$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{17 (x^{16} x^{1}) + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{17 x^{16 + 1} + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.3

Somma $16$ e $1$ .

$\frac{17 x^{17} + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $17$ per $- 1$ .

$\frac{17 x^{17} - 17 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{17 x^{17} - 17 x^{16} - x^{17} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $x^{17}$ da $17 x^{17}$ .

$\frac{16 x^{17} - 17 x^{16} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$