Calcolo Esempi

${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 6

$\frac{3}{2}$ e ${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 8

Poiché $a^{\frac{2}{3}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 12

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 13

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 15

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Passaggio 15.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Passaggio 16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Passaggio 17

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 18

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 19

Moltiplica $\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 20

Moltiplica.

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Passaggio 20.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 20.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 21

Elimina il fattore comune.

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 22

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{{(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$