Calcolo Esempi

${(\frac{x + 6}{x - 6})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x + 6}{x - 6}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + 6}{x - 6}$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 6$ e $g (x) = x - 6$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x - 6$ per $1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 3.8.3

$\frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$ e $3$ .

$\frac{(x - 6 - (x + 6)) \cdot 3}{{(x - 6)}^{2}} {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2}$

Passaggio 3.8.4

Sposta $3$ alla sinistra di $x - 6 - (x + 6)$ .

$\frac{3 \cdot (x - 6 - (x + 6))}{{(x - 6)}^{2}} {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + 6}{x - 6}$ .

$\frac{3 (x - 6 - (x + 6))}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x - 6 - x - 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 6 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$\frac{3 x - 18 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 x - 18 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{3 x - 18 - 3 x + 3 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4.4

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$\frac{3 x - 18 - 3 x - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4.5

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$\frac{0 - 18 - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4.6

Sottrai $18$ da $0$ .

$\frac{- 18 - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4.7

Sottrai $18$ da $- 18$ .

$\frac{- 36}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{36}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4.9

Moltiplica $\frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$ per $\frac{36}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4.10

Moltiplica ${(x - 6)}^{2}$ per ${(x - 6)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.4.10.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{2 + 2}}$

Passaggio 4.4.10.2

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{4}}$

Passaggio 4.4.11

Sposta $36$ alla sinistra di ${(x + 6)}^{2}$ .

$- \frac{36 {(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{4}}$