Calcolo Esempi

$(4 x^{2} + 8 x) \cos (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x^{2} + 8 x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$(4 x^{2} + 8 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 8 x]$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 8 x]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 3.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8 \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $8$ per $1$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 8 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 8 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 8$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 8$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 8 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 8$

Passaggio 4.3.3

Sposta $8$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 8 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + 8 \cos (x)$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$- 4 x^{2} \sin (x) - 8 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 8 \cos (x)$