Calcolo Esempi

$(x - 6) {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 6$ e $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x - 6) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$(x - 6) (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x - 6$ .

$3 \cdot (x - 6) {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + 0) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} \cdot 1 + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 3.8

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Passaggio 3.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.9.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica ${(x + 2)}^{3}$ per $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x + 3 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 4.3

Scomponi ${(x + 2)}^{2}$ da $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi ${(x + 2)}^{2}$ da $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi ${(x + 2)}^{2}$ da ${(x + 2)}^{3}$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$

Passaggio 4.3.3

Scomponi ${(x + 2)}^{2}$ da ${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18 + x + 2)$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Somma $3 x$ e $x$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 18 + 2)$

Passaggio 4.4.2

Somma $- 18$ e $2$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 16)$

Passaggio 4.5

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x + 2) (x + 2) (4 x - 16)$

Passaggio 4.6

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Passaggio 4.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Passaggio 4.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Passaggio 4.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Passaggio 4.7.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Passaggio 4.7.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (4 x - 16)$

Passaggio 4.7.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$

Passaggio 4.8

Espandi $(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.9.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.9.2.1

Sposta $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 4.9.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.3

Sposta $- 16$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 16 \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.9.5.1

Sposta $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.7

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.8

Moltiplica $4$ per $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x + 4 \cdot - 16$

Passaggio 4.9.9

Moltiplica $4$ per $- 16$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$

Passaggio 4.10

Combina i termini opposti in $4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$ .

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Passaggio 4.10.1

Somma $- 16 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 - 64 x + 16 x - 64$

Passaggio 4.10.2

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3} - 64 x + 16 x - 64$

Passaggio 4.11

Somma $- 64 x$ e $16 x$ .

$4 x^{3} - 48 x - 64$