Calcolo Esempi

${(x^{4} + 3 x)}^{- 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4} + 3 x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 3 x$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$

Passaggio 3.2

Riordina i fattori di $- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$ .

$- (4 x^{3} + 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- (4 x^{3}) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x$ da $x^{4} + 3 x$ .

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Passaggio 3.6.1.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + x \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{3} + x \cdot 3$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x (x^{3} + 3))}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la regola del prodotto a $x (x^{3} + 3)$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 4 x^{3} - 3$ per $\frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 1 (3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{3}) - 1 (3)$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Riscrivi $- (4 x^{3} + 3)$ come $- 1 (4 x^{3} + 3)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x^{3} + 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$