Calcolo Esempi

${(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x - 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 6.3

Sposta ${(x^{2} - 2 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 11

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2 + 0)$

Passaggio 13

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2)$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Riordina i fattori di $\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $2 x - 2$ per $\frac{2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(2 x - 2) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.3.1

Scomponi $2$ da $2 x - 2$ .

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Passaggio 14.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{(2 (x) - 2) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) \cdot 2}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$