Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(x - 1) (2 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 2$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Somma $- 4 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 x$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$