Calcolo Esempi

${(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + c x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + c x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + c x$ .

$\frac{1}{2} {(1 + c x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + c x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + c x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(1 + c x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + c x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + c x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 6.3

Sposta ${(1 + c x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + c x]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + c x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [c x])$

Passaggio 8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [c x])$

Passaggio 9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [c x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [c x]$

Passaggio 10

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c x$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}} (c \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

$c$ e $\frac{1}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{c}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{c}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 13

Moltiplica $\frac{c}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{c}{2 {(1 + c x)}^{\frac{1}{2}}}$