Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 4 x + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 3, 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $3, 1$ .

$3, 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 5.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $9$ .

$f' (0) = 9$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $9$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 1)$ .

Crescente su $(- \infty, 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $24$ da $12$ .

$f' (2) = - 12 + 9$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 12$ e $9$ .

$f' (2) = - 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(1, 3)$ .

Decrescente su $(1, 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $48$ da $48$ .

$f' (4) = 0 + 9$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0$ e $9$ .

$f' (4) = 9$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $9$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 1), (3, \infty)$

Decrescente su: $(1, 3)$

Passaggio 9