Calcolo Esempi

$(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x + 1$ e $g (x) = {(1 - x)}^{3}$ .

$(4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$(4 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(4 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$(4 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $4 x + 1$ .

$3 \cdot (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.12

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + 0)$

Passaggio 3.14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.14.1

Somma $4$ e $0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \cdot 4$

Passaggio 3.14.2

Sposta $4$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{3}$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + 4 \cdot {(1 - x)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(- 3 (4 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$(- 12 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Passaggio 4.4

Scomponi ${(1 - x)}^{2}$ da $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi ${(1 - x)}^{2}$ da $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + 4 {(1 - x)}^{3}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi ${(1 - x)}^{2}$ da $4 {(1 - x)}^{3}$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$

Passaggio 4.4.3

Scomponi ${(1 - x)}^{2}$ da ${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.5

Riscrivi ${(1 - x)}^{2}$ come $(1 - x) (1 - x)$ .

$(1 - x) (1 - x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.6

Espandi $(1 - x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.7.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.7.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 - x - x - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.7.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.7.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.7.1.5.1

Sposta $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.7.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.7.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.7.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$(1 - x - x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Passaggio 4.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- x))$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 + 4 (- x))$

Passaggio 4.8.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 - 4 x)$

Passaggio 4.9

Sottrai $4 x$ da $- 12 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x - 3 + 4)$

Passaggio 4.10

Somma $- 3$ e $4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$

Passaggio 4.11

Espandi $(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$1 (- 16 x) + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.12.1

Moltiplica $- 16 x$ per $1$ .

$- 16 x + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 16 x + 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.12.4.1

Sposta $x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.5

Moltiplica $- 2$ per $- 16$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.12.8.1

Sposta $x$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 4.12.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 4.12.9

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2}$

Passaggio 4.13

Sottrai $2 x$ da $- 16 x$ .

$- 18 x + 1 + 32 x^{2} - 16 x^{3} + x^{2}$

Passaggio 4.14

Somma $32 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$- 18 x + 1 - 16 x^{3} + 33 x^{2}$