Calcolo Esempi

$\frac{50 x}{0.01 x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{50 x}{0.01 x^{2} + 1}$ rispetto a $x$ è $50 \frac{d}{d x} [\frac{x}{0.01 x^{2} + 1}]$ .

$50 \frac{d}{d x} [\frac{x}{0.01 x^{2} + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 0.01 x^{2} + 1$ .

$50 \frac{(0.01 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$50 \frac{(0.01 x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $0.01 x^{2} + 1$ per $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $0.01 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [0.01 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [0.01 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $0.01$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.01 x^{2}$ rispetto a $x$ è $0.01 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.01 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.01 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $0.01$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x + 0)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.8.1

Somma $0.02 x$ e $0$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $0.02$ per $- 1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x \cdot x}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 (x^{1} x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 (x^{1} x^{1})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x^{1 + 1}}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x^{2}}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8

Sottrai $0.02 x^{2}$ da $0.01 x^{2}$ .

$50 \frac{- 0.01 x^{2} + 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9

$50$ e $\frac{- 0.01 x^{2} + 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{50 (- 0.01 x^{2} + 1)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{50 (- 0.01 x^{2}) + 50 \cdot 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 0.01$ per $50$ .

$\frac{- 0.5 x^{2} + 50 \cdot 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $50$ per $1$ .

$\frac{- 0.5 x^{2} + 50}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.3.1

Scomponi $0.5$ da $- 0.5 x^{2} + 50$ .

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Passaggio 10.3.1.1

Scomponi $0.5$ da $- 0.5 x^{2}$ .

$\frac{0.5 (- x^{2}) + 50}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.3.1.2

Scomponi $0.5$ da $50$ .

$\frac{0.5 (- x^{2}) + 0.5 (100)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.3.1.3

Scomponi $0.5$ da $0.5 (- x^{2}) + 0.5 (100)$ .

$\frac{0.5 (- x^{2} + 100)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$\frac{0.5 (- x^{2} + 10^{2})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.3.3

Riordina $- x^{2}$ e $10^{2}$ .

$\frac{0.5 (10^{2} - x^{2})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 10$ e $b = x$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.4.1

Scomponi $0.01$ da $0.01 x^{2} + 1$ .

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Passaggio 10.4.1.1

Scomponi $0.01$ da $0.01 x^{2}$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.4.1.2

Scomponi $0.01$ da $1$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 x^{2} + 0.01 \cdot 100)}^{2}}$

Passaggio 10.4.1.3

Scomponi $0.01$ da $0.01 x^{2} + 0.01 \cdot 100$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 (x^{2} + 100))}^{2}}$

Passaggio 10.4.2

Applica la regola del prodotto a $0.01 (x^{2} + 100)$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{0.01}^{2} {(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 10.4.3

Eleva $0.01$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 10.5

Scomponi $0.5$ da $0.5 (10 + x) (10 - x)$ .

$\frac{0.5 ((10 + x) (10 - x))}{0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 10.6

Scomponi $0.0001$ da $0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}$ .

$\frac{0.5 ((10 + x) (10 - x))}{0.0001 ({(x^{2} + 100)}^{2})}$

Passaggio 10.7

Frazioni separate.

$\frac{0.5}{0.0001} \cdot \frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 10.8

Dividi $0.5$ per $0.0001$ .

$5000 \frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Passaggio 10.9

$5000$ e $\frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$ .

$\frac{5000 (10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$