Calcolo Esempi

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{3}{x} + x$ e $g (x) = \frac{3}{x} - x$ .

$(\frac{3}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} - x] + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{x} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{x} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.11

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.13

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{- 3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Passaggio 3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Passaggio 3.3.3

$- 3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{- 3}{x^{2}} + 1)$

Passaggio 3.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- \frac{3}{x^{2}} + 1)$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Espandi $(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} + x) - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Moltiplica $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{3}{x}$ per $\frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{x^{2}}$ nel numeratore.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.4

Riscrivi $- 1 \frac{3}{x}$ come $- \frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.1.5

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $\frac{3}{x}$ da $- \frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - 2 \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $- 2 \frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

$- 2$ e $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.4

Espandi $(- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} - x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

Passaggio 3.5.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1.1

Moltiplica $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1.1.1

Moltiplica $\frac{3}{x}$ per $\frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1.1.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{x^{2}}$ nel numeratore.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.2.3

Scomponi $x$ da $- x$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.3

$\frac{- 3}{x}$ e $- 1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.5

Moltiplica $\frac{3}{x}$ per $1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} + 1 (- x)$

Passaggio 3.5.5.1.6

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} - x$

Passaggio 3.5.5.2

Somma $\frac{3}{x}$ e $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + 2 \frac{3}{x} - x$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $2 \frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

$2$ e $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 3}{x} - x$

Passaggio 3.5.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$

Passaggio 3.6

Combina i termini opposti in $- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma $- \frac{6}{x}$ e $\frac{6}{x}$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} + 0 - x$

Passaggio 3.6.2

Somma $- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}}$ e $0$ .

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} - x$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- x - x + \frac{- 9 - 9}{x^{3}}$

Passaggio 3.8

Sottrai $9$ da $- 9$ .

$- x - x + \frac{- 18}{x^{3}}$

Passaggio 3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- x - x - \frac{18}{x^{3}}$

Passaggio 3.10

Sottrai $x$ da $- x$ .

$- 2 x - \frac{18}{x^{3}}$