Calcolo Esempi

$(\frac{1}{x - 2}) (\frac{3}{x^{2} + 2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{1}{x - 2}$ per $\frac{3}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

Passaggio 1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}]$

Passaggio 1.3

Riscrivi $\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2)}$ come ${((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = (x - 2) (x^{2} + 2)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $(x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$3 (- {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Passaggio 3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 ({((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2)])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} ((x - 2) (2 x) + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 5.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 2$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 5.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) (1 + 0))$

Passaggio 5.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + (x^{2} + 2) \cdot 1)$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $x^{2} + 2$ per $1$ .

$- 3 {((x - 2) (x^{2} + 2))}^{- 2} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{((x - 2) (x^{2} + 2))}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x - 2) x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} ((2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.5.1

$- 3$ e $\frac{1}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.5.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.5.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.5.7

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 2)$

Passaggio 6.5.8

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$

Passaggio 6.6

Riordina i fattori di $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}} (3 x^{2} - 4 x + 2)$ .

$- (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.7

Applica la proprietà distributiva.

$(- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.8

Semplifica.

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Passaggio 6.8.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.8.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$(- 3 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.8.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.9

Moltiplica $- 3 x^{2} + 4 x - 2$ per $\frac{3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 4 x - 2) \cdot 3}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.10

Sposta $3$ alla sinistra di $- 3 x^{2} + 4 x - 2$ .

$\frac{3 \cdot (- 3 x^{2} + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.11

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2}) + 4 x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.12

Scomponi $- 1$ da $4 x$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.13

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.14

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.15

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.16

Riscrivi $- (3 x^{2} - 4 x + 2)$ come $- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 x^{2} - 4 x + 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (3 x^{2} - 4 x + 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x^{2} + 2)}^{2}}$