Calcolo Esempi

$(\frac{x^{3}}{9}) (3 \ln (x) - 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{x^{3}}{9}$ e $g (x) = 3 \ln (x) - 1$ .

$\frac{x^{3}}{9} \frac{d}{d x} [3 \ln (x) - 1] + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \ln (x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + 0) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.3.1

Somma $\frac{3}{x}$ e $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} \cdot \frac{3}{x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{x^{3}}{9}$ per $\frac{3}{x}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3}}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $3$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3})}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $9 x$ .

$\frac{3 (x^{3})}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{3}}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

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Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.3.5.2.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 4.4

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{9}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Passaggio 4.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.6.1

$3$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3}{9} x^{2}$

Passaggio 4.6.2

$x^{2}$ e $\frac{3}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{9}$

Passaggio 4.6.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

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Passaggio 4.6.4.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 (x^{2})}{9}$

Passaggio 4.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.6.4.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 5

Per scrivere $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6

$(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 8

$3$ e $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Passaggio 9.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) x^{2}}{3}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 \ln (x) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Passaggio 10.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1.1

Semplifica $3 \ln (x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Passaggio 10.2.1.2

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}}{3}$

Passaggio 10.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}$ .

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Passaggio 10.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2} + 0}{3}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $\ln (x^{3}) x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2}}{3}$

Passaggio 10.2.3

Riordina i fattori in $\ln (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \ln (x^{3})}{3}$

Passaggio 10.3

Espandi $\ln (x^{3})$ spostando $3$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Passaggio 10.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 10.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Passaggio 10.4.2

Dividi $x^{2} (\ln (x))$ per $1$ .

$x^{2} (\ln (x))$