Calcolo Esempi

$h (w) = \frac{8}{{(w^{3} + 4)}^{5}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $\frac{8}{{(w^{3} + 4)}^{5}}$ rispetto a $w$ è $8 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{5}}]$ .

$8 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{5}}]$

Passaggio 1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{5}}$ come ${({(w^{3} + 4)}^{5})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d w} [{({(w^{3} + 4)}^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(w^{3} + 4)}^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$8 \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{- 5}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{- 5}$ e $g (w) = w^{3} + 4$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $w^{3} + 4$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 5$ .

$8 (- 5 u^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $w^{3} + 4$ .

$8 (- 5 {(w^{3} + 4)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$- 40 ({(w^{3} + 4)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $w^{3} + 4$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4]$ .

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [4])$

Passaggio 3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $4$ rispetto a $w$ è $0$ .

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (3 w^{2} + 0)$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $3 w^{2}$ e $0$ .

$- 40 {(w^{3} + 4)}^{- 6} (3 w^{2})$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 40$ .

$- 120 {(w^{3} + 4)}^{- 6} w^{2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 120 \frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{6}} w^{2}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 120$ e $\frac{1}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$ .

$\frac{- 120}{{(w^{3} + 4)}^{6}} w^{2}$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{120}{{(w^{3} + 4)}^{6}} w^{2}$

Passaggio 4.2.3

$w^{2}$ e $\frac{120}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 120}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$

Passaggio 4.2.4

Sposta $120$ alla sinistra di $w^{2}$ .

$- \frac{120 w^{2}}{{(w^{3} + 4)}^{6}}$