Calcolo Esempi

$(1 + \sec (x)) \sin (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + \sec (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sec (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 4

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$\cos (x) \sec (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 5.4.1.1

Riordina $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Passaggio 5.4.1.2

Riscrivi $\cos (x) \sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Passaggio 5.4.1.3

Elimina i fattori comuni.

$1 + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Passaggio 5.4.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x)$

Passaggio 5.4.4

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Passaggio 5.4.5

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Passaggio 5.4.5.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Passaggio 5.4.5.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Passaggio 5.4.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Passaggio 5.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Passaggio 5.4.5.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Passaggio 5.4.5.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x)$

Passaggio 5.4.5.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x)$

Passaggio 5.4.5.9

Somma $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Passaggio 5.5

Converti da $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ a $\tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + \cos (x)$

Passaggio 5.6

Rimetti in ordine i termini.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cos (x)$

Passaggio 5.7

Applica l'identità pitagorica.

$\sec^{2} (x) + \cos (x)$