Calcolo Esempi

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{t - 1}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t - 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = t - 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(t - 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 8.3

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

$t$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.1.2

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.1.3

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.1

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.1.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.1.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.1.4

Riscrivi $- 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ come $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.2

Per scrivere $- t^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3

$- t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1.1

Scomponi $t^{\frac{1}{2}}$ da $t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1.1.1

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5.1.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5.1.1.3

Scomponi $t^{\frac{1}{2}}$ da $- 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5.1.1.4

Scomponi $t^{\frac{1}{2}}$ da $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5.1.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $- 1$ da $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.2

Per scrivere $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.3

Moltiplica $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.5.1

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $t^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.5.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.5.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.5.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{t^{\frac{2}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.5.1.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- \frac{t^{1} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.3.5.2

Semplifica $t^{1}$ .

$\frac{- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.5

Moltiplica $\frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$ per $\frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 13.6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(t - 1)}^{2}$ .

$- \frac{t + 1}{2 \cdot {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.7

Riordina i fattori in $- \frac{t + 1}{2 {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t - 1)}^{2}}$