Calcolo Esempi

$\ln (\sin (t^{2}))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = \sin (t^{2})$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (t^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (t^{2})$ .

$\frac{1}{\sin (t^{2})} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Passaggio 2

Converti da $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ a $\csc (t^{2})$ .

$\csc (t^{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori di $\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$ .

$2 t \cos (t^{2}) \csc (t^{2})$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\csc (t^{2})$ in termini di seno e coseno.

$2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

$2$ e $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

$t \cos (t^{2}) \frac{2}{\sin (t^{2})}$

Passaggio 5.3.2

$\frac{2}{\sin (t^{2})}$ e $t$ .

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})} \cos (t^{2})$

Passaggio 5.3.3

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})}$ e $\cos (t^{2})$ .

$\frac{2 t \cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Passaggio 5.4

Frazioni separate.

$\frac{2 t}{1} \cdot \frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Passaggio 5.5

Converti da $\frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$ a $\cot (t^{2})$ .

$\frac{2 t}{1} \cot (t^{2})$

Passaggio 5.6

Dividi $2 t$ per $1$ .

$2 t \cot (t^{2})$