Calcolo Esempi

$t \sqrt{10 - 2 t}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10 - 2 t}$ come ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 10 - 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $10 - 2 t$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $10 - 2 t$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t (\frac{1}{2} {(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(10 - 2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [10 - 2 t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - 2 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 10

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $10$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 2 t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 12

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2 t$ rispetto a $t$ è $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d t} [t]) + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$- 2$ e $\frac{t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 13.2

Scomponi $2$ da $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t)}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.1

Scomponi $2$ da $2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t)}{2 ({(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- t)}{2 {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 17

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 18

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 19

Moltiplica ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 20

Per scrivere ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}} {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Moltiplica ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 22.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{\frac{2}{2}}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- t + {(10 - 2 t)}^{1}}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23

Semplifica ${(10 - 2 t)}^{1}$ .

$\frac{- t + 10 - 2 t}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24

Sottrai $2 t$ da $- t$ .

$\frac{- 3 t + 10}{{(10 - 2 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25

Riordina i termini.

$\frac{- 3 t + 10}{{(- 2 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}$