Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 12 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $6 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x - 12 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = 12$

Passaggio 2.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 12$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 12$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $12$ per $6$ .

$x = 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2$ .

$2$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 6 x - 12$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 6 (1) - 12$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f' (1) = 6 - 12$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $12$ da $6$ .

$f' (1) = - 6$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 6$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 6 (3) - 12$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f' (3) = 18 - 12$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $12$ da $18$ .

$f' (3) = 6$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $6$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(2, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 2)$

Passaggio 8