Calcolo Esempi

$\sin (t) \cos (t)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \cos (t)$ .

$\sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$\sin (t) (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Passaggio 3

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (t) \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Passaggio 4

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {\sin (t)}^{1 + 1} + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (t) + \cos (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Passaggio 7

La derivata di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $\cos (t)$ .

$- \sin^{2} (t) + \cos (t) \cos (t)$

Passaggio 8

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (t) + \cos^{1} (t) \cos (t)$

Passaggio 9

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t)$

Passaggio 10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin^{2} (t) + {\cos (t)}^{1 + 1}$

Passaggio 11

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riordina $- \sin^{2} (t)$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)$

Passaggio 12.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (t)$ e $b = \sin (t)$ .

$(\cos (t) + \sin (t)) (\cos (t) - \sin (t))$

Passaggio 12.3

Espandi $(\cos (t) + \sin (t)) (\cos (t) - \sin (t))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (t) (\cos (t) - \sin (t)) + \sin (t) (\cos (t) - \sin (t))$

Passaggio 12.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) + \sin (t) (\cos (t) - \sin (t))$

Passaggio 12.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) + \sin (t) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 12.4

Combina i termini opposti in $\cos (t) \cos (t) + \cos (t) (- \sin (t)) + \sin (t) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (t) (- \sin (t))$ e $\sin (t) \cos (t)$ .

$\cos (t) \cos (t) - \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \sin (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 12.4.2

Somma $- \cos (t) \sin (t)$ e $\cos (t) \sin (t)$ .

$\cos (t) \cos (t) + 0 + \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 12.4.3

Somma $\cos (t) \cos (t)$ e $0$ .

$\cos (t) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 12.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Moltiplica $\cos (t) \cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (t) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 12.5.1.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 12.5.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (t)}^{1 + 1} + \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 12.5.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (t) + \sin (t) (- \sin (t))$

Passaggio 12.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (t) - \sin (t) \sin (t)$

Passaggio 12.5.3

Moltiplica $- \sin (t) \sin (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.1

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))$

Passaggio 12.5.3.2

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))$

Passaggio 12.5.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}$

Passaggio 12.5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)$

Passaggio 12.6

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos (2 t)$