Calcolo Esempi

$t \sqrt{2 t + 1}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 t + 1}$ come ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 2 t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 t + 1$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t + 1$ .

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [2 t + 1] + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d t} [1]) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 13

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

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Passaggio 14.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.2

$\frac{t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{t \cdot 2}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.3

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{2 \cdot t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 t}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 16

Moltiplica ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{t}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 17

Per scrivere ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

Moltiplica ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 19.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{t + {(2 t + 1)}^{1}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Semplifica ${(2 t + 1)}^{1}$ .

$\frac{t + 2 t + 1}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Somma $t$ e $2 t$ .

$\frac{3 t + 1}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$