Calcolo Esempi

$y = \arcsin (\frac{3}{t^{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \arcsin (t)$ e $g (t) = \frac{3}{t^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arcsin (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{3}{t^{2}}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} (3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}])$

Passaggio 2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.1

$3$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{t^{2}}$ come ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d t} [t^{- 2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} (- 2 t^{- 3})$

Passaggio 2.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.4.1

$- 2$ e $\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} t^{- 3}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}} t^{- 3}$

Passaggio 2.4.3

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$ e $t^{- 3}$ .

$\frac{- 6 t^{- 3}}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.4.1

Sposta $t^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}} t^{3}}$

Passaggio 2.4.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{t^{2}})}^{2}} t^{3}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{t^{2}}$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3^{2}}{{(t^{2})}^{2}}} t^{3}}$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{{(t^{2})}^{2}}} t^{3}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{t^{2 \cdot 2}}} t^{3}}$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{t^{4}}} t^{3}}$