Calcolo Esempi

$y = arcsec (\frac{1}{9 t^{4}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = arcsec (t)$ e $g (t) = \frac{1}{9 t^{4}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $arcsec (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9 t^{4}} \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Passaggio 2

$\frac{1}{9 t^{4}}$ e $\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Passaggio 3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}$ .

$1 \frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ per $1$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{1}{9 t^{4}}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}])$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Passaggio 6.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi $\frac{1}{t^{4}}$ come ${(t^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [{(t^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (- 4 t^{- 5})$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

$- 4$ e $\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} t^{- 5}$

Passaggio 8.2

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ e $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 t^{4} t^{- 5}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 9

Moltiplica $t^{4}$ per $t^{- 5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.1

Sposta $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 (t^{- 5} t^{4})}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 9.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 t^{- 5 + 4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 9.3

Somma $- 5$ e $4$ .

$\frac{- 4 t^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Passaggio 10

Sposta $t^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{{(9 t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Passaggio 12.2

Applica la regola del prodotto a $9 t^{4}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Passaggio 12.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 12.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Passaggio 12.3.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Passaggio 12.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{4})}^{2}$ .

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Passaggio 12.3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{4 \cdot 2}} - 1} t}$

Passaggio 12.3.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{8}} - 1} t}$