Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{u^{2} + u}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{u^{2} + u}$ come ${(u^{2} + u)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ è $f' (g (u)) g' (u)$ dove $f (u) = u^{- 1}$ e $g (u) = u^{2} + u$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $u^{2} + u$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $u^{2} + u$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $u^{2} + u$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} (2 u + \frac{d}{d u} [u])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} (2 u + 1)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}} (2 u + 1)$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori di $- \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}} (2 u + 1)$ .

$- (2 u + 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- (2 u) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(- 2 u - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $u$ da $u^{2} + u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u \cdot u + u)}^{2}}$

Passaggio 4.6.1.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}$

Passaggio 4.6.1.3

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6.1.4

Scomponi $u$ da $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u (u + 1))}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Applica la regola del prodotto a $u (u + 1)$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 2 u - 1$ per $\frac{1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 u - 1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- 2 u$ .

$\frac{- (2 u) - 1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 u) - 1 (1)}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Scomponi $- 1$ da $- (2 u) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Riscrivi $- (2 u + 1)$ come $- 1 (2 u + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 u + 1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$