Calcolo Esempi

$e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{4 x} + e^{- x}$ come funzione.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{4 x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.1.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.1.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 2.1.1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 2.1.1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 e^{4 x} - e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2.6

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2.7

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Passaggio 2.1.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 2.1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.1.2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 2.1.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 2.1.2.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 2.1.2.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

Passaggio 2.1.2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Passaggio 2.1.2.3.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $16 e^{4 x} + e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Il grafico è una funzione convessa perché la derivata seconda è positiva.

Il grafico è una funzione convessa

Passaggio 5