Calcolo Esempi

$y = \ln (3 t e^{- t})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 3 t e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 t e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 t e^{- t}$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t e^{- t}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} (3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}])$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$3$ e $\frac{1}{3 t e^{- t}}$ .

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- t}$ come $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

Passaggio 5.5

Moltiplica $e^{- t}$ per $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t})) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

$t$ e $\frac{1}{t e^{- t}}$ .

$\frac{t}{t e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Passaggio 6.2.2

$\frac{t}{t e^{- t}}$ e $e^{- t}$ .

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Passaggio 6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Passaggio 6.2.6

$\frac{1}{t e^{- t}}$ e $e^{- t}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Passaggio 6.2.7

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Passaggio 6.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + \frac{1}{t}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{t} - 1$